Question

19．已知函数f（x）=lg$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$．
（1）若f（x）的定义域为（-∞，1），求a的值；
（2）若f（x）在x∈（-∞，1）内恒有意义，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可化为a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立，又由f（x）的定义域为（-∞，1）知a=-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
（2）f（x）在x∈（-∞，1）内恒有意义可化为$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；即a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为（-∞，1），
∴$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；
∴a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；
又∵y=-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上是增函数，
故a=-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
（2）∵f（x）在x∈（-∞，1）内恒有意义，
∴$\frac{1+{2}^{x}+a•{3}^{x}}{3}$＞0在（-∞，1）上恒成立；
∴a＞-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上恒成立；
又∵y=-[（$\frac{2}{3}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x]在（-∞，1）上是增函数，
故a≥-[（$\frac{2}{3}$）¹+（$\frac{1}{3}$）¹]=-1；
故a的取值范围为[-1，+∞）．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，属于基础题．