Question

7．已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）
（1）判断数列{a_n+1}（n∈N^*）是否是等比数列？
（2）若t=1，令C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，记T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n（n∈N^*）．求证：①C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；②T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n+1，得到a_n+1+1=2（a_n+1），分a₁=t=-1和a₁=t≠-1，说明数列{a_n+1}是不是等比数列；
（2）①由t=1，得a₁+1=2，由等比数列的通项公式求得${a}_{n}={2}^{n}-1$，代入C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，裂项后可得C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；
②由T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n，裂项相消求和后得答案．

解答 （1）解：由a_n+1=2a_n+1，得a_n+1+1=2（a_n+1），
若a₁=t=-1，则a₁+1=0，数列{a_n+1}不是等比数列；
若a₁=t≠-1，则a₁+1≠0，数列{a_n+1}是首项为t+1，公比为2的等比数列，
（2）证明：①由t=1，则a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，则${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴C_n=$\frac{{2}^{n}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，即C_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$；
②T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}）+（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}）+…+（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{n+1}}=1-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}＜1$．

点评 本题考查了等比关系的确定，考查了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．