Question

2．如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小的余弦；
（Ⅲ）求点C到平面APB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据线面垂直的性质证明PC⊥平面ABC即可证明PC⊥AB；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AP-C的大小的余弦；
（Ⅲ）利用向量法即可求出点C到平面APB的距离．

解答 证明：（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵|PB|=|AB|=2$\sqrt{2}$，
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连结BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
∵E（0，1，1），
∴$\overrightarrow{EC}=（0，-1，-1）$，$\overrightarrow{EB}$=（2，-1，-1），
∴cos$∠BEC=\frac{\overrightarrow{EC}•\overrightarrow{EB}}{|\overrightarrow{EC}||\overrightarrow{EB}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅲ）∵AC=BC=PC，
∴C在平面APB内的射影为正△APB的中心H，且CH的长为点C到平面APB的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系C-xyz．
∵BH=2HE，
∴点H的坐标为（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）．  
∴|$\overrightarrow{CH}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴点C到平APB的距离为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间位置关系的判断，以及利用向量法求二面角的大小以及点到平面的距离，考查学生的推理能力．