Question

14．已知m、n为正整数，a＞0且a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，求$\frac{m}{n}$的值．

Answer 1

分析 利用导数的运算性质，数列求和化简，结合m、n为正整数，求出m，n即可得到结果．

解答 解：m、n为正整数，a＞0且a≠1，且log_am+log_a（1+$\frac{1}{m}$）+log_a（1+$\frac{1}{m+1}$）+…+log_a（1+$\frac{1}{m+n-1}$）=log_am+log_an，
可得log_a[m•（1+$\frac{1}{m}$）•（1+$\frac{1}{m+1}$）•…•（1+$\frac{1}{m+n-1}$）]
=log_a[m•$\frac{m+1}{m}$•$\frac{m+2}{m+1}$•…•$\frac{m+n}{m+n-1}$]
=log_am+log_an，
即log_a（m+n）=log_a（m•n）．
∴m+n=mn，即$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=1$，
∵m、n为正整数，
∴m=n=2．
∴$\frac{m}{n}$=1．

点评 本题考查对数的运算性质，数列求和的方法，注意正整数的应用，考查计算能力．