Question

6．已知抛物线y²=2px（p＞0），过点C（-2，0）的直线l交抛物线于A，B两点，坐标原点为O，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12．
（I）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当以AB为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设l：x=my-2，代入y²=2px，可得根与系数的关系，再利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，可得x₁x₂+y₁y₂=12，代入即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化为y²-4my+8=0．设AB的中点为M，可得|AB|=2x_m=x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=4m²-4，又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}-32）}$，联立解出m即可得出．

解答 解：（Ⅰ）设l：x=my-2，代入y²=2px，
可得y²-2pmy+4p=0．（?）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=2pm，y₁y₂=4p，
则x₁x₂=$\frac{{y}_{1}^{2}}{2p}•\frac{{y}_{2}^{2}}{2p}$=4．
∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=12，
∴x₁x₂+y₁y₂=12，
即4+4p=12，
得p=2，抛物线的方程为y²=4x．
（Ⅱ）由（Ⅰ）（?）化为y²-4my+8=0．
y₁+y₂=4m，y₁y₂=8．
设AB的中点为M，
则|AB|=2x_m=x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=4m²-4，①
又|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y₁-y₂|=$\sqrt{（1+{m}^{2}）（16{m}^{2}-32）}$，②
由①②得（1+m²）（16m²-32）=（4m²-4）²，
解得m²=3，m=±$\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为x+$\sqrt{3}$y+2=0，或x-$\sqrt{3}$y+2=0．

点评 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、焦点弦长公式、弦长公式、直线与圆相切的性质、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．