Question

13．如图，在四棱锥E-ABCD中，AB=BD=AD，CB=CD，EC⊥BD．
（Ⅰ）求证：△BDE是等腰三角形；
（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设BD中点为O，连接OC，OE，则CO⊥BD，CE⊥BD，于是BD⊥平面EOC，从而EO⊥BD，即OE是BD的垂直平分线；
（Ⅱ）取AB中点N，连接MN，DN，MN，易证MN∥平面BEC，DN∥平面BEC，由面面平行的判定定理即可证得平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，于是DM∥平面BEC；

解答 证明：（Ⅰ）取BD的中点O，连结CO，EO，
∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，
又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，
在△BDE中，由于O为BD的中点，所以BE=DE；
所以△BDE是等腰三角形；
（Ⅱ）取AB中点N，连接MN，DN，

∵M是AE的中点，
∴MN∥BE，又MN?平面BEC，BE?平面BEC，
∴MN∥平面BEC，
∵△ABD是等边三角形，
∴∠BDN=30°，又CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CBD=30°，
∴ND∥BC，
又DN?平面BEC，BC?平面BEC，
∴DN∥平面BEC，又MN∩DN=N，故平面DMN∥平面BEC，又DM?平面DMN，
∴DM∥平面BEC．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查线面垂直的判定定理与面面平行的判定定理的应用，着重考查分析推理能力与表达、运算能力，属于中档题