Question

4．设函数f（x）=axⁿ-lnx-1（n∈N^*，n≥2，a＞1）．
（Ⅰ）若a=2，n=2，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）存在两个零点x₁，x₂；
（i）求a的取值范围；
（ii）求证：x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=2，n=2，求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数的导数，根据函数的极值和函数零点关系进行判断，利用分析法，结合对数的运算性质证明不等式．

解答 解：（Ⅰ）当a=2，n=2时，f（x）=2x²-lnx-1，
f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4（x+\frac{1}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{x}$；
∵x＞0，
当x∈（0，$\frac{1}{2}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）在x=$\frac{1}{2}$时有极小值f（$\frac{1}{2}$）=2（$\frac{1}{2}$）²-ln$\frac{1}{2}$-1=ln2-$\frac{1}{2}$；没有极大值；
（Ⅱ）（i）由题意知，x₁，x₂＞0，
f′（x）=nax^n-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{na{（x}^{n}-\frac{1}{na}）}{x}$，
当x∈（0，$\root{n}{\frac{1}{na}}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当∈（$\root{n}{\frac{1}{na}}$，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴要有2个零点，则在x=$\root{n}{\frac{1}{na}}$处的值要小于零，
即f（$\root{n}{\frac{1}{na}}$）=n（$\root{n}{\frac{1}{na}}$）ⁿ-ln$\root{n}{\frac{1}{na}}$-1=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n}$ln$\frac{1}{na}$-1=$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n}$lnna-1＜0；
故lnna＜n-1；
即na＜e^n-1；
故a＜$\frac{{e}^{n-1}}{n}$；
设H（x）=$\frac{{e}^{x-1}}{x}$，（x＞2），
则H′（x）=$\frac{{e}^{x-1}（x-1）}{{x}^{2}}＞0$恒成立，即H（x）在（2，+∞）上是增函数，
故H（x）的最小值为H（2）=$\frac{e}{2}$，
即1＜a＜$\frac{e}{2}$，
故a的取值范围为（1，$\frac{e}{2}$）；
（ii）不妨设x₁＞x₂，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a{{x}_{1}}^{2}-ln{x}_{1}=1①}\\{a{{x}_{2}}^{2}-ln{x}_{2}=1②}\end{array}\right.$，
①-②得a（x₁ⁿ-x₂ⁿ）=lnx₁-lnx₂，
①+②得a（x₁ⁿ+x₂ⁿ）=ln（x₁x₂）+2
∴消去参数a得ln（x₁x₂）+2=$\frac{（ln{x}_{1}-ln{x}_{2}）（{{x}_{1}}^{n}+{{x}_{2}}^{n}）}{{{x}_{1}}^{n}-{{x}_{2}}^{n}}$，
设t=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，
则ln（x₁x₂）=（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}-2$，
欲证明x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$，则只需要证明ln（x₁x₂）$＞\frac{2}{n}-2$，
即证（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}-2$$＞\frac{2}{n}-2$，
即（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，即lnt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
设g（t）=lnt-$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，（t＞1），
则g′（t）=$\frac{1}{t}-\frac{2}{t}•\frac{2n{t}^{n-1}}{（{t}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{（{t}^{n}+1）^{2}-4{t}^{n}}{t（{t}^{n}+1）^{2}}$=$\frac{（{t}^{n}-1）^{2}}{t（{t}^{n}+1）^{2}}$＞0，
∴g（t）在（1，+∞）上递增，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞$\frac{2}{n}$•$\frac{{t}^{n}-1}{{t}^{n}+1}$，
∴（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$
∵（lnt）$•\frac{{t}^{n}+1}{{t}^{n}-1}$＞$\frac{2}{n}$，
∴x₁x₂＞e${\;}^{\frac{2}{n}-2}$

点评 本题主要考查函数的极值和导数的关系以及利用导数证明不等式，综合性较强，难度较大．