Question

14．为了促进学生的全面发展，贵州某中学重视学生社团文化建设，2014年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的“海济社”和“话剧社”．已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立，根据报名情况和他本人的才艺能力，两个社团都能进入的概率为$\frac{1}{24}$，至少进入一个社团的概率为$\frac{3}{8}$，并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率．
（1）求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率p₁和进入“话剧社”的概率p₂；
（2）学校根据这两个社团的活动安排情况，对进入“海济社”的同学增加1个校本选修课学分，对进入“话剧社”的同学增加0.5个校本选修课学分．求该同学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）仔细阅读题意得出有 $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}{P}_{2}=\frac{1}{24}}\\{1-（1-{P}_{1}）（1-{P}_{2}）=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$求解即可．
（2）得出不等式$|{2x-1}|-|{x+1}|≤log\begin{array}{l}a\\ 2\end{array}$，确定a＞0的取值有0、0.5、1、1.5．分别求解相应的概率即可．

解答 解：（1）据题意，有   $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}{P}_{2}=\frac{1}{24}}\\{1-（1-{P}_{1}）（1-{P}_{2}）=\frac{3}{8}}\end{array}\right.$
解得 $\left\{\begin{array}{l}{{P}_{1}=\frac{1}{6}}\\{{P}_{2}=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$                                          
（2）令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为ξ，
则ξ的取值有0、0.5、1、1.5．
P（ξ=0）=（1-$\frac{1}{4}$）（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{15}{24}$，
P（ξ=0.5）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{6}$）=$\frac{5}{24}$，
P（ξ=1）=（1-$\frac{1}{4}$）$\frac{1}{6}$=$\frac{3}{24}$，
P（ξ=1.5）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{6}$=$\frac{1}{24}$，

ξ	0	0.5	1	1.5
p	$\frac{15}{24}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{3}{24}$	$\frac{1}{24}$

所以ξ的数学期望为：0×$\frac{15}{24}$+0.5×$\frac{5}{24}$+1×$\frac{3}{24}$+1.5×$\frac{1}{24}$=$\frac{7}{24}$．

点评 本题考查了综合运用离散型的概率分布知识求解问题，关键是准确求解概率，列出分布列，得出相应的数学期望，也可以转化为不等式求解，综合性较强