Question

9．已知数列{a_n}与{b_n}满足：b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，b_n=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$，n∈N^*，且a₁=2，a₂=4．
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）设c_n=a_2n-1+a_2n+1，n∈N^*，证明：{c_n}是等比数列．

Answer 1

分析 （1）先化简b_n=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$求出b_n，令n=1、2、3代入b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，结合条件依次求出a₃，a₄，a₅的值；
（2）根据c_n、b_n的表达式，令n=2n-1、2n、2n+1代入b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，列出三个方程并进行化简得到{a_n}的递推公式，再根据等比数列的定义证明{c_n}是等比数列．

解答 解：（1）由b_n=$\frac{3+（-1）^{n}}{2}$得，b_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n是奇数}\\{2，n是偶数}\end{array}\right.$，
又a₁=2，a₂=4，b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，
则当n=1时，b₁a₁+a₂+b₂a₃=0，解得a₃=-3，
当n=2时，b₂a₂+a₃+b₃a₄=0，解得a₄=-5，
当n=3时，b₃a₃+a₄+b₄a₅=0，解得a₅=4；
证明：（2）∵b_na_n+a_n+1+b_n+1a_n+2=0，
∴b_2n-1a_2n-1+a_2n+b_2na_2n+1=0，即a_2n-1+a_2n+2a_2n+1=0，①
b_2na_2n+a_2n+1+b_2n+1a_2n+2=0，即2a_2n+a_2n+1+a_2n+2=0，②
b_2n+1a_2n+1+a_2n+2+b_2n+2a_2n+3=0，a_2n+1+a_2n+2+2a_2n+3=0，③
②-③得，a_2n=a_2n+3，代入①得，a_2n-1+a_2n+3+2a_2n+1=0，
∴a_2n-1+a_2n+1=-（a_2n+1+a_2n+3），
∵c_n=a_2n-1+a_2n+1，∴c_n=-c_n+1，
∵c₁=a₁+a₃=-1，∴c_n≠0，则$\frac{{c}_{n+1}}{{c}_{n}}$=-1，
∴{c_n}是以-1为首项、公比的等比数列．

点评 本题考查等比数列的证明方法：定义法，以及数列的递推公式的化简及应用，考查化简、变形能力．