Question

8．F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a，b＞0）的焦点，过F作x轴的垂线，与双曲线交于点A，过F作与渐近线平行的直线，与双曲线交于点B．若三角形FAB为直角三角形，则双曲线C的离心率为（　　）

• A． 不是定值
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由题意，AB⊥BF，设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则AB的斜率为-$\frac{a}{b}$，求出A，B 的坐标，可得AB的斜率，建立方程，即可求出双曲线C的离心率．

解答 解：由题意，AB⊥BF，设F（c，0），渐近线方程为y=$\frac{b}{a}$x，则AB的斜率为-$\frac{a}{b}$，
过F作与渐近线平行的直线方程为y=$\frac{b}{a}$（x-c），代入C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得B（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}$，$\frac{-{b}^{3}}{2ac}$）
x=c代入C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，可得A（c，-$\frac{{b}^{2}}{a}$），
∴AB的斜率为$\frac{\frac{-{b}^{3}}{2ac}+\frac{{b}^{2}}{a}}{\frac{{a}^{2}+{c}^{2}}{2c}-c}$=$\frac{b-2c}{a}$，
∴-$\frac{a}{b}$=$\frac{b-2c}{a}$，
∴c=2b，
∴a=$\sqrt{{c}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线C的离心率，考查直线与双曲线的位置关系，求出AB的斜率是关键．