Question

13．一个容器内部都是四棱锥形状，且四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长都是$\sqrt{3}$，若在容器内放一个球，则此球的最大体积为$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，要求球的最大体积，则需要求正四棱锥内切球的半径，然后通过求解直角三角形得答案．

解答 解：如图，
要使球的体积最大，就要球的半径最大，当该球为正四棱锥的内切球时，体积最大，
依题意，棱锥底面边长AB=2，侧棱长PB=$\sqrt{3}$，则高PO=1，
取AD和BC的中点M，N，
则三角形PMN内切圆的圆心就是该球的球心，内切圆的半径就是球的半径，
在Rt△PMA和Rt△PNB中，可求得PM=PN=$\sqrt{2}$，又MN=2，
则△PMN为等腰直角三角形，设内切圆半径为r，
由$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{1}{2}（\sqrt{2}+\sqrt{2}+2）r$，得r=$\sqrt{2}-1$，即内切球的半径为$\sqrt{2}-1$．
∴球的体积最大值为$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}π$$•（\sqrt{2}-1）^{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．