Question

1．设函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R），F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），x＞0}\\{-f（x），x＜0}\end{array}\right.$．
（1）若f（-1）=0，且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求F（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设m＞0，n＜0，且m+n＞0，a＞0，f（x）为偶函数，求证：F（m）+F（n）＞0．

Answer 1

分析 （1）根据f（-1）=0，和对任意x均有f（x）≥0可知，f（x）图象和x轴只有一个交点，所以得到$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$，这样解出a=1，b=2，从而得到F（x）；
（2）先求出g（x）=x²+（2-k）x+1，根据该函数在[-2，2]上为单调函数以及二次函数单调性和对称轴的关系即可得到关于k的不等式，解不等式即得k的取值范围；
（3）根据F（x）的解析式容易判断该函数为奇函数，且在（0，+∞）上为增函数，所以根据m＞-n＞0即可得到F（m）+f（n）＞0．

解答 解：（1）根据已知条件得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{-\frac{b}{2a}=-1}\end{array}\right.$；
解得a=1，b=2；
∴$F（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x+1}&{x＞0}\\{-{x}^{2}-2x-1}&{x＜0}\end{array}\right.$；
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1；
该函数对称轴为x=$\frac{k-2}{2}$，且g（x）在[-2，2]上是单调函数；
∴$\frac{k-2}{2}≤-2，或\frac{k-2}{2}≥2$；
∴k≤-2，或k≥6；
∴实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）；
（3）证明：f（x）为偶函数，∴b=0；
f（x）=ax²+1；
a＞0；
∴x＞0时，F（x）为增函数；
F（-x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x＜0}\\{-f（x）}&{x＞0}\end{array}\right.=-\left\{\begin{array}{l}{f（x）}&{x＞0}\\{-f（x）}&{x＜0}\end{array}\right.$=-F（x）；
∴F（x）为奇函数；
∵m＞0，n＜0，m+n＞0；
∴m＞-n＞0；
∴F（m）＞F（-n）；
∴F（m）＞-F（n）；
∴F（m）+F（n）＞0．

点评 考查对于二次函数f（x）≥0恒成立时f（x）的图象和x轴的关系：最多一个交点，二次函数的单调性和对称轴的关系，奇函数的定义及判断方法，判断分段函数奇偶性的方法与过程，函数单调性定义的运用．