Question

8．已知函数f（x）=tan（ωx+φ）且对于定义域内任何实数x都有f（x）=f（x+1）-f（x+2）
（Ⅰ）求f（x）的周期T；
（Ⅱ）求证：tan（ωa+φ+3ω）=tan（ωa+φ-3ω）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=f（x+1）-f（x+2）可得f（x+1）=f（x+2）-f（x+3），两式相加结合周期的定义可得；
（Ⅱ）易得tan（ωa+φ+3ω）=f（a+3），tan（ωa+φ-3ω）=f（a-3），由周期T=6可证．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=f（x+1）-f（x+2），
∴f（x+1）=f（x+2）-f（x+3），
两式相加可得f（x）=-f（x+3），即f（x+3）=-f（x），
∴f（x+6）=f[（x+3）+3]=-f（x+3）=f（x）
∴f（x）的周期T=6；
（Ⅱ）证明：∵tan（ωa+φ+3ω）=tan[ω（a+3）+φ]=f（a+3），
tan（ωa+φ-3ω）=tan[ω（a-3）+φ]=f（a-3），
又∵f（x）=tan（ωx+φ）的周期T=6，
∴f（a+3）=f（a-3），
∴tan（ωa+φ+3ω）=tan（ωa+φ-3ω）

点评 本题考查正切函数的周期性，属基础题．