Question

7．已知函数f（x）定义域为R，且f（x）+f（-x）=x²，当x＜0时，f′（x）＜x，求f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x的解集．

Answer 1

分析 可先对f（-x）+f（x）=x²，两边对x取导数，根据x＜0时，f′（x）＜x，推出x＞0时，f′（x）＜x，求出f（0）=0，且f′（0）≤0，得到x∈R，都有f′（x）＜x．构造函数F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x，求导并推出F′（x）＜0，且F（$\frac{1}{2}$）=0，运用函数的单调性即可解出不等式．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足：
f（-x）+f（x）=x²，
两边对x求导，得-f′（-x）+f′（x）=2x，
∴f′（x）=f′（-x）+2x，
令x＞0，则-x＜0，
∵当x＜0时，f′（x）＜x，
∴f′（-x）＜-x，
∴f′（x）＜2x-x，即f′（x）＜x，
又f（0）=0，直线y=x过原点，
∴f′（0）≤0，
∴x∈R，都有f′（x）＜x，
令F（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$-f（1-x）-x，则
F′（x）=f′（x）+f′（1-x）-1＜x+1-x-1=0，
即F（x）是R上的单调减函数，且F（$\frac{1}{2}$）=0，
∴不等式f（x）+$\frac{1}{2}$≥f（1-x）+x，
即F（x）≥0，即F（x）≥F（$\frac{1}{2}$），
∴x≤$\frac{1}{2}$．
∴原不等式的解集为（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题主要考查运用导数研究函数的单调性，并应用单调性解不等式，同时考查构造函数研究函数的性质的能力，如何运用条件，两边对x求导，是解决此类题的关键，值得重视．