Question

12．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，a₁=1，3S_n²+a_n+1（3S_n+1）=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若S_n=（3n+1）b_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，3S_n²+a_n+1（3S_n+1）=0，a_n+1=S_n+1-S_n．代入变形化为$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=3，利用等差数列的通项公式可得：S_n．利用a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）由S_n=（3n+1）b_n，可得b_n=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，3S_n²+a_n+1（3S_n+1）=0，a_n+1=S_n+1-S_n．
∴3S_n²+（S_n+1-S_n）（3S_n+1）=0，
化为$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=3，
∴数列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为3．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
∴S_n=$\frac{1}{3n-2}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n-5}$．
（2）∵S_n=（3n+1）b_n，
∴b_n=$\frac{1}{（3n-2）（3n+1）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3}[（1-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{7}）$+…+$（\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}）]$=$\frac{1}{3}（1-\frac{1}{3n+1}）$=$\frac{n}{3n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．