Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{0.5}（4x-3）}$的定义域为A，函数g（x）=2^m（-1≤x≤m）的值域为B．
（1）当m=1时，求A∩B；
（2）若A∪B=B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 由对数的真数大于0，被开方数大于等于0求出f（x）的定义域确定出A，求出g（x）的值域确定出B，
（1）把m=1代入确定出B，找出A与B的交集即可；
（2）根据A与B的并集为B，得到A为B的子集，根据A与B列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可确定出m的范围．

解答 解：由函数f（x）=$\sqrt{lo{g}_{0.5}（4x-3）}$，得到$\left\{\begin{array}{l}{4x-3＞0}\\{4x-3≤1}\end{array}\right.$，
解得：$\frac{3}{4}$＜x≤1，即A=（$\frac{3}{4}$，1]；
由g（x）=2^m（-1≤x≤m），得到$\frac{1}{2}$≤g（x）≤2^m，即B=[$\frac{1}{2}$，2^m]，
（1）当m=1时，B=[$\frac{1}{2}$，2]，此时A∩B=（$\frac{3}{4}$，1]；
（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，
∵A=（$\frac{3}{4}$，1]，
∴2^m≥1=2⁰，
解得：m≥0，
∵m＞-1，∴m≥0，
则m的范围为[0，+∞）．

点评 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．