Question

13．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2$\sqrt{2}$． 
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角M-AB-C的大小；
（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{10}}}{5}$，求$\frac{AN}{NB}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结AC，由已知数据和勾股定理可得AB⊥AC，可得AC⊥CD，再由线面垂直关系可得；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由数量积和垂直关系可得平面MAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），又可得$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量，计算可得cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞，可得二面角；
（Ⅲ）设N（x，0，0），由题意可得x的方程$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，解方程可得．

解答 证明：（Ⅰ）连结AC，
∵在△ABC中，AB=AC=2，$BC=2\sqrt{2}$，
∴BC²=AB²+AC²，∴AB⊥AC，
∵AB∥CD，∴AC⊥CD，
又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（-2，2，0），
∵M是棱PD的中点，∴M（-1，1，1），
∴$\overrightarrow{AM}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，0，0），．
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面MAB的法向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+z=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$
令y=1，则$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\\{z=-1}\end{array}\right.$，
∴平面MAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1）
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{AP}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AP}|}$=$\frac{-2}{2×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∵二面角M-AB-C 为锐二面角，
∴二面角M-AB-C的大小为$\frac{π}{4}$；
（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，
∴设N（x，0，0），$\overrightarrow{NC}$=（-x，2，0），．
设直线CN与平面MAB所成角为α，
因为平面MAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
∴$\frac{2}{\sqrt{2}×\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
解得x=1，即AN=1，NB=1，
∴$\frac{AN}{NB}$=1

点评 本题考查空间位置关系，涉及向量法和线面垂直的证明，属中档题．