Question

17．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（1-x），x≤0}\\{f（x-1）-f（x-2），x＞0}\end{array}\right.$，则f（2014）=log₃2．

Answer 1

分析 先确定函数的周期为6，再利用f（2014）=f（6×335+4）=f（4）=-f（1），即可得出结论．

解答 解：由题意f（x+1）=f（x）-f（x-1）=-f（x-2），
所以f（x+3）=-f（x），
所以f（x+6）=f（x），即函数的周期为6（x＞0），f（0）=0，
所以f（2014）=f（6×335+4）=f（4）=f（3）-f（2）=[f（2）-f（1）]-[f（1）-f（0）]=f（2）-2f（1）=f（1）-f（0）-2[f（0）-f（-1）]=f（0）-f（-1）+2f（-1）=f（-1）=log₃2，
所以f（2014）=log₃2．
故答案为：log₃2．

点评 本题考查函数的周期性，考查学生的计算能力，确定函数的周期是关键．