Question

6．在平面直角坐标系中，设向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-$\sqrt{3}$sinB），其中A，B为△ABC的两个内角．
（1）若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，求证：C为直角；
（2）若$\overrightarrow{m}∥\overrightarrow{n}$，求证：B为锐角．

Answer 1

分析 （1）运用向量垂直的条件：数量积为0，结合两角和的余弦公式和诱导公式即可得证；
（2）运用两向量共线的条件和两角和的正弦公式和诱导公式即可得证．

解答 证明：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$cosA，sinA），$\overrightarrow{n}$=（cosB，-$\sqrt{3}$sinB），
若$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，
即$\sqrt{3}$cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAsinB=0，
即有cos（A+B）=0，即cos（π-C）=0，
则cosC=0，即有C为直角．
（2）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，则sinAcosB=-3cosAsinB，
即sinAcosB+cosAsinB=-2cosAsinB，
sin（A+B）=-2cosAsinB，
即sinC=-2cosAsinB，
由sinB＞0，sinC＞0，则cosA＜0，
由sinA＞0，sinB＞0，则cosB＞0，
则有B为锐角．

点评 本题考查向量的垂直和共线的条件，主要考查三角函数的化简和两角和差公式的运用和诱导公式的运用，属于中档题和易错题．