Question

18．已知函数f（x）=（1-b）x²-2ax+b，当0≤a≤$\frac{1}{2}$，a≤b时，求证：f（x）≥0在x∈[-1，1]上恒成立．

Answer 1

分析 分类讨论，确定△=4a²-4b（1-b）≥1，$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{1-a}$≤1，即可证明结论．

解答 证明：x∈[-1，1]，b=1时，f（x）=-2ax+1∈[-2a+1，2a+1]，
∵0≤a≤$\frac{1}{2}$，∴-2a+1≥0，
∴f（x）≥0；
b≠1时，△=4a²-4b（1-b）=4（a²+b²-b）
b（1-b）≤$\frac{1}{4}$，∴-4b（1-b）≥1，
∴△=4a²-4b（1-b）≥1，
∴f（x）有两根，
对称轴x=$\frac{a}{1-b}$≥$\frac{a}{1-a}$，
∵0≤a≤$\frac{1}{2}$，∴$\frac{1}{2}$≤$\frac{a}{1-a}$≤1，
f（-1）=1-b+2a+b=1+2a＞0，f（1）=1-2a+b-b=1-2a≥0，
∴f（x）≥0成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．