Question

8．求（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展开式中的常数项．

Answer 1

分析 （a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展开式的通项为T_r+1=${C}_{10}^{r}（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$．对$（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$的常数项进行分析，即可得出结论．

解答 解：（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展开式的通项为T_r+1=${C}_{10}^{r}（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$．
对$（a+\frac{1}{{a}^{2}}）^{r}$的常数项进行分析，通项为T_k+1=${C}_{r}^{k}{a}^{k}•（\frac{1}{{a}^{2}}）^{r-k}$=${C}_{r}^{k}•{a}^{3k-2r}$，
令3k=2r，则k=$\frac{2}{3}$r，r=0，3，6，9，k=0，2，4，6，
则（a+$\frac{1}{{a}^{2}}$+1）¹⁰展开式中的常数项为${C}_{10}^{0}+{C}_{10}^{3}{C}_{3}^{2}+{C}_{10}^{6}{C}_{6}^{4}+{C}_{10}^{9}{C}_{9}^{6}$=4351．

点评 本题考查二项式定理的应用，考查学生的技术能力，正确运用公式是关键．