Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n+（$\frac{2}{n}$+1）a_n=2（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足b_n=2ⁿ•a_n，它的前n项和为T_n，求数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和A_n
（3）在（2）的条件下，求数列{$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$}的前n项和B_n．

Answer 1

分析 （1）由数列递推式求得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，再得另一递推式两式作差得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），利用累积求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由b_n=2ⁿ•a_n求得{b_n}的通项公式得到$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，然后利用错位相减法求得数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和A_n；
（3）直接利用等比数列的前n项和得答案．

解答 解：（1）由S_n+（$\frac{2}{n}$+1）a_n=2，得${a}_{1}=\frac{1}{2}$，
又${S}_{n-1}+（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}=2$（n≥2），
两式作差得：${a}_{n}+（\frac{2}{n}+1）{a}_{n}-（\frac{2}{n-1}+1）{a}_{n-1}=0$，
即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），
则：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{2}•\frac{2}{1}$，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{1}{2}•\frac{3}{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{1}{2}•\frac{n}{n-1}$（n≥2），
累积得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
∴${a}_{n}=\frac{n}{{2}^{n}}$；
（2）由b_n=2ⁿ•a_n=${2}^{n}•\frac{n}{{2}^{n}}=n$，得
T_n=${b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=1+2+…+n=\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{{T}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}=2（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴数列{$\frac{1}{{T}_{n}}$}的前n项和A_n=$2（1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=$2（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$；
（3）$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{n}{{2}^{n}}}{n}=\frac{1}{{2}^{n}}$，
则B_n=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．