Question

11．一个多边形的直观图和三视图如图所示（其中EMF分别是PB，AD的中心）
（1）求证：EF⊥平面PBC；
（2）求三棱锥B-AEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，边长为a，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=a，取PC中点G，连接EG、GD，可证四边形FEGD为矩形，得到EG⊥DG，再由已知得到DG⊥PC，由线面垂直的判断得到DG⊥平面PBC，进一步证得答案；
（2）把三棱锥B-AEF的体积转化为E-ABF的体积得答案．

解答 （1）证明：如图，
取PC的中点G，连结EG，GD，则
EG∥BC，EG∥DF，EG=$\frac{1}{2}BC$，EG=$\frac{1}{2}DF$，
由三视图知FD⊥平面PDC，DG?面PDC，∴FD⊥DG，
∴四边形FEGD为矩形，
∵G为等腰Rt△PDC斜边PC的中点，
∴DG⊥PC，
又DG⊥GE，PC∩EG=G，
∴DG⊥平面PBC．
∵DG∥EF，∴EF⊥平面PBC；
（2）解：由三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，边长为a，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=a，
又F为AD的中点，∴${S}_{△ABF}=\frac{1}{4}{a}^{2}$，
E为PB中点，则OE=$\frac{1}{2}PD=\frac{1}{2}a$，
∴V_B-AEF=V_E-ABF=$\frac{1}{3}$S_△ABF•OE=$\frac{1}{3}•\frac{1}{4}{a}^{2}•\frac{1}{2}a=\frac{1}{24}{a}^{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．