Question

3．已知f（x）=4sin²x-4$\sqrt{3}$sinxcosx．
（1）求f（$\frac{π}{8}$）的值；
（2）x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2-4sin（2x+$\frac{π}{6}$），代入x的值$\frac{π}{8}$即可得解．
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]，可得2x+$\frac{π}{6}$的范围，从而可求f（x）=2-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）的范围，即可求得x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=4sin²x-4$\sqrt{3}$sinxcosx
=2-2cos2x-2$\sqrt{3}$sin2x
=2-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）
∴f（$\frac{π}{8}$）=2-4sin（2×$\frac{π}{8}$+$\frac{π}{6}$）=2-4（$\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{1}{2}$）=$2-\sqrt{6}-\sqrt{2}$．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2-4sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-2，4]
∴x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，f（x）的最大值为4．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．