Question

13．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，B₁D∩平面A₁BC₁=P，求证：B、P、O₁三点共线．

Answer 1

分析 已知点P在直线B₁D和平面A₁BC₁上，直线B₁D在平面BB₁D₁D上，所以点P也在平面BB₁D₁D上，则点P应该在平面A₁BC₁和平面BB₁D₁D的交线上，即点P在直线BO₁上，即得证．

解答 证明：在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁D∩平面A₁BC₁=P，∴P∈平面A₁BC₁，P∈B₁D．
∵B₁D?平面BB₁D₁D．∴P∈平面A₁BC₁，且P∈平面BB₁D₁D．
∴P∈平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D，
∵A₁C₁∩B₁D₁=O₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，B₁D₁?平面BB₁D₁D，
∴O₁∈平面A₁BC₁，且O₁∈平面BB₁D₁D．
又B∈平面A₁BC₁，且B∈平面BB₁D₁D，
∴平面A₁BC₁∩平面BB₁D₁D=BO₁．
∴P∈BO₁
B、P、O₁三点共线．

点评 本题考查了点共线的证明；一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上