Question

12．设一直角∠MON，试在ON，OM边上及角内各求一点A，B，C，使得BC+CA=l（定长），且四边形ACBO的面积最大．

Answer 1

分析 设OA=a，OB=b，BC=c，AC=d，则c+d=l，由勾股定理和余弦定理可得a²+b²=c²+d²-2cdcosC，则有四边形ACBO的面积S=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$cdsinC，运用基本不等式和正弦函数的最值，即可求得最大值，及A，B，C的位置．

解答 解：设OA=a，OB=b，BC=c，AC=d，
则c+d=l，
又a²+b²=c²+d²-2cdcosC，
则有四边形ACBO的面积S=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$cdsinC，
由sinC≤1，cd≤$\frac{（c+d）^{2}}{4}$=$\frac{{l}^{2}}{4}$，
当且仅当C=90°，c=d=$\frac{1}{2}$l取得等号．
则有$\frac{1}{2}$cdsinC的最大值为$\frac{1}{8}$l²．
此时a²+b²=$\frac{1}{2}$l²，a²+b²≥2ab，
当且仅当a=b时，ab取得最大值，且为$\frac{1}{4}$l²．
则有四边形ACBO的面积S的最大值为$\frac{1}{4}$l²．
此时四边形ACBO为正方形，OA=OB=AC=BC=$\frac{1}{2}$l．

点评 本题考查三角形的面积的最值求法，主要考查基本不等式和正弦函数的最值，考查运算能力，属于中档题．