Question

1．正项等比数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，则a₃=3．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，利用a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，可得$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{q}+{a}_{3}+{a}_{3}q+{a}_{3}{q}^{2}$=27，$\frac{{q}^{2}}{{a}_{3}}+\frac{q}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}q}+\frac{1}{{a}_{3}{q}^{2}}$=3，两式相除，可得a₃．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，则
∵a₁+a₂+…+a₅=27，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{5}}$=3，
∴$\frac{{a}_{3}}{{q}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{q}+{a}_{3}+{a}_{3}q+{a}_{3}{q}^{2}$=27，$\frac{{q}^{2}}{{a}_{3}}+\frac{q}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}}+\frac{1}{{a}_{3}q}+\frac{1}{{a}_{3}{q}^{2}}$=3，
两式相除，可得${{a}_{3}}^{2}$=9，
∵a₃＞0，
∴a₃=3
故答案为：3．

点评 本题考查等比数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．