Question

17．已知椭圆C的中心为O，两焦点为F₁、F₂，M是椭圆C上一点，且满足|$\overrightarrow{M{F}_{1}}$|=2|$\overrightarrow{MO}$|=2|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|，则椭圆的离心率e=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 由已知可得2a=|MF₁|+|MF₂|=3|MF₂|，进而在△F₁OM中，|F₁O|=c，|F₁M|=$\frac{4}{3}$a，|OM|=$\frac{2}{3}$a，在△OF₂M中，
|F₂O|=c，|M0|=|F₂M|=$\frac{2}{3}$a，由∠MOF₁=180°-∠MOF₂得：cos∠MOF₁+cos∠MOF₂=0，结合余弦定理，化简整理，再由离心率公式计算可得答案．

解答 解：∵$\frac{1}{2}$|MF₁|=|MO|=|MF₂|，
由椭圆定义可得2a=|MF₁|+|MF₂|=3|MF₂|，
即|MF₂|=$\frac{2}{3}$a，|MF₁|=$\frac{4}{3}$a，
在△F₁OM中，|F₁O|=c，|F₁M|=$\frac{4}{3}$a，|OM|=$\frac{2}{3}$a，
则cos∠MOF₁=$\frac{{c}^{2}+\frac{4}{9}{a}^{2}-\frac{16}{9}{a}^{2}}{2c•\frac{2}{3}a}$=$\frac{3{c}^{2}-4{a}^{2}}{4ac}$，
在△OF₂M中，|F₂O|=c，|M0|=|F₂M|=$\frac{2}{3}$a，
则cos∠MOF₂=$\frac{\frac{4}{9}{a}^{2}+{c}^{2}-\frac{4}{9}{a}^{2}}{2c•\frac{2}{3}a}$=$\frac{3c}{4a}$，
由∠MOF₁=180°-∠MOF₂得：cos∠MOF₁+cos∠MOF₂=0，
即为$\frac{3{c}^{2}-4{a}^{2}}{4ac}$+$\frac{3c}{4a}$=0，
整理得：3c²-2a²=0，
即$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，即e²=$\frac{2}{3}$，
即有e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，主要考查离心率的求法，构造关于a，c的方程是解答的关键，难度中档．