Question

8．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，F₁，F₂分别是椭圆的左右焦点，c为半焦距，P为直线x=2上一点．直线PF₁，PF₂与圆x²+y²=1的另外一个交点分别为M、N两点．
（Ⅰ）椭圆上是否存在一点Q，使得∠F₁QF₂=$\frac{π}{2}$？若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求证：直线MN恒过一定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假设椭圆上存在一点Q，使得∠F₁QF₂=$\frac{π}{2}$，则$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，求出向量$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$、$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$的坐标和向量的数量积，结合Q满足椭圆方程，即可解得Q的坐标；
（Ⅱ）设P（2，t），求得直线直线PF₁的方程代入圆方程，求得M的坐标，同理求得N的坐标，再求直线MN的方程，运用直线恒过定点的方法，即可求得定点．

解答 （Ⅰ）解：假设椭圆上存在一点Q，使得∠F₁QF₂=$\frac{π}{2}$，
则$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$•$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=0，
椭圆$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），
设Q（m，n），则$\overrightarrow{Q{F}_{1}}$=（-1-m，-n），$\overrightarrow{Q{F}_{2}}$=（1-m，-n），
即有（-1-m）（1-m）+n²=0，
即m²+n²=1，
又Q在椭圆上，则$\frac{{m}^{2}}{2}$+n²=1，
解得m=0，n=±1，
故存在Q（0，±1）；
（Ⅱ）证明：设P（2，t），直线PF₁：y=$\frac{t}{3}$（x+1）代入圆x²+y²=1，
可得（9+t²）x²+2t²x+t²-9=0，
即-1•x_M=$\frac{{t}^{2}-9}{{t}^{2}+9}$，解得x_M=$\frac{9-{t}^{2}}{9+{t}^{2}}$，
即M（$\frac{9-{t}^{2}}{9+{t}^{2}}$，$\frac{6t}{9+{t}^{2}}$），同理可得N（$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$，$\frac{-2t}{{t}^{2}+1}$）．
k_MN=$\frac{4t}{3-{t}^{2}}$，
直线MN：y-$\frac{-2t}{{t}^{2}+1}$=$\frac{4t}{3-{t}^{2}}$（x-$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}+1}$），
化简可得y-$\frac{4t}{3-{t}^{2}}$x+$\frac{2t}{3-{t}^{2}}$=0，
即有y=$\frac{2t}{3-{t}^{2}}$（2x-1），
令x=$\frac{1}{2}$，则y=0，
故直线MN恒过定点T（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线和圆的位置关系，运用向量垂直的条件和点满足椭圆方程，直线恒过定点的求法是解题的关键．