Question

18．已知f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2015π），则函数f（x）的各极大值之和为（　　）

• A． $\frac{{{e^x}（{1-{e^{2014π}}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． 1008²π
• C． $\frac{{{e^{2x}}（{1-{e^{2014π}}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． 1008π

Answer 1

分析 先求f′（x）=2e^xsinx，这样即可得到f（π），f（3π），f（5π），…，f（2015π）为f（x）的极大值，并且构成以e^π为首项，e^2π为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求f（x）的各极大值之和即可．

解答 解：f′（x）=2e^xsinx；
x∈[0，（2k+1）π）时，f′（x）＞0；x∈（（2k+1）π，（2k+2）π）时，f′（x）＜0，其中0≤k≤1007，且k∈N^*；
∴f（（2k+1）π）=e^（2k+1）π是f（x）的极大值；
∴函数f（x）的各极大值之和为：
e^π+e^3π+e^5π+…+e^2013π=$\frac{{e}^{π}（1-{e}^{2014π}）}{{1-e}^{2π}}$．
故选A．

点评 考查极大值的定义，正弦、余弦，和积的导数的求导公式，以及等比数列的概念，等比数列的求和公式．