Question

13．向量$\overrightarrow{a}$=（1，3），$\overrightarrow{b}$=（2，4），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+λ$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，则λ的值为（　　）

• A． $\frac{1±5\sqrt{2}}{7}$
• B． $\frac{5±\sqrt{221}}{14}$
• C． ±1
• D． 以上A、B、C均不对

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，得$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=0，通过向量数量积的坐标运算即得结果．

解答 解：根据题意，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=1×2+3×4$=14，
$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{1+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，$|\overrightarrow{b}|$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
所以$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=$（\overrightarrow{a}+λ\overrightarrow{b}）•（λ\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）$
=$λ{\overrightarrow{a}}^{2}+（{λ}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-λ{\overrightarrow{b}}^{2}$
=$λ|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（{λ}^{2}-1）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-λ|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=10λ+14（λ²-1）-20λ
=14λ²-10λ-14=0，
即7λ²-5λ-7=0，解得λ=$\frac{5±\sqrt{{5}^{2}-4×7×（-7）}}{2×7}$=$\frac{5±\sqrt{221}}{14}$，
故选：B．

点评 本题考查向量垂直的等价条件，向量模的求法，向量的数量积运算，一元二次方程的求根公式，属于中档题．