Question

6．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别为CC₁、AD的中点，F为BB₁上的点，且B₁F=3BF．
（1）证明：EF∥平面ABC；
（2）若AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{π}{3}$，且二面角D-AB-C的正切值为$\sqrt{2}$，求三棱锥F-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）取AC中点G，连接EG、EF、BG，由已知可证得四边形BFEG为平行四边形，得EF∥BG，然后由线面平行的判断证得EF∥平面ABC；
（2）由已知利用余弦定理可得∠ABC=90°，从而得到∠DBC为二面角D-AB-C的平面角，进一步求得CD，BF的值，然后代入三棱锥的体积公式得答案．

解答 （1）证明：如图，
取AC中点G，连接EG、EF、BG，
则EG=$\frac{1}{2}CD=\frac{1}{4}C{C}_{1}=\frac{1}{4}B{B}_{1}$，EG∥CC₁∥BB₁，
又BF=$\frac{1}{4}B{B}_{1}$，
∴四边形BFEG为平行四边形，则EF∥BG，
又EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥平面ABC；
（2）解：∵AC=2$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，∠ACB=$\frac{π}{3}$，
∴$AB=\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}-2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}cos\frac{π}{3}}$=$\sqrt{6}$，
∴AB²+BC²=AC²，即∠ABC=90°，
∴∠DBC为二面角D-AB-C的平面角，
由tan∠DBC=$\sqrt{2}$，得$CD=\sqrt{2}BC=2$，
∴BF=$\frac{1}{2}CD=1$，
∴${V}_{F-ABD}={V}_{A-BFD}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}×\sqrt{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．