Question

17．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PD⊥PB，PA=PD．
（Ⅰ）求证：平面PCD⊥平面PAB；
（Ⅱ）设E是棱AB的中点，∠PEC=90°，AB=2，求二面角E-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAD⊥平面PAB；
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可．

解答 （1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD
所以AB⊥平面PAD…（1分）
又PD?平面PAD，所以PD⊥AB…（2分）
又PD⊥PB，所以PD⊥平面PAB…（3分）
而PD?平面PCD，故平面PCD⊥平面PAB…（4分）
（2）如图，建立空间直角坐标系…（5分）

设AD=2a，则A（a，0，0），D（-a，0，0）B（a，2，0），C（-a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0）…（6分）
$\overrightarrow{EP}=（-a，-1，a），\overrightarrow{EC}=（-2a，1，0）$，
则$\overrightarrow{EP}•\overrightarrow{EC}=0$得$a=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$$\overrightarrow{CE}=（\sqrt{2}，-1，0）$，$\overrightarrow{EP}=（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$…（8分）
设平面PEC的一个法向量$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{CP}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{EP}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x_1}-{y_1}=0\\{x_1}+\sqrt{2}{y_1}-{z_1}=0\end{array}\right.$
令x₁=1，则$\overrightarrow{n_1}=（1，\sqrt{2}，3）$…（9分）
$\overrightarrow{CB}=（\sqrt{2}，0，0）$，$\overrightarrow{CP}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-2，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，
设平面PEC的一个法向量$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{BC}=0\\ \overrightarrow{n_2}•\overrightarrow{CP}=0\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x_2}=0\\{x_2}-2\sqrt{2}{y_2}+{z_2}=0\end{array}\right.$，
令y₂=1，则$\overrightarrow{n_1}=（0，1，2\sqrt{2}）$…（10分）
设二面角E-PC-B的大小为θ，
则$cosθ=|cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞|=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{7\sqrt{6}}}{18}$…（11分）
故二面角E-PC-B的余弦值为$\frac{{7\sqrt{6}}}{18}$…（12分）

点评 本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法．