Question

6．在如图所示的几何体中，已知△BCD是等腰直角三角形且BD=CD，AB=BC=AC=2，AE=1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC．
（1）证明：AE∥平面BCD；
（2）证明：平面BDE⊥平面CDE．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点M，连接DM、AM，由等腰三角形三线合一，可得DM⊥BC，进而由平面BCD⊥平面ABC，结合面面垂直的性质定理可得DM⊥平面ABC，再由AE⊥平面ABC，结合线面垂直的性质定理，可得AE∥DM，进而由线面平行的判定定理得到AE∥平面BCD；
（2）由（1）知AE∥DM，AE=DM，可由平行四边形的性质得DE∥AM，再由（1）得DM⊥AM，结合线面垂直的判定定理可得AM⊥平面BCD，即DE⊥平面BCD，进而DE⊥CD，再由BD⊥CD结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理得到平面BDE⊥平面CDE；

解答 证明：（1）取BC的中点M，连接DM、AM，由已知BD=CD，可得：DM⊥BC，
又因为平面BCD⊥平面ABC，平面BCD∩平面ABC=BC，
所以DM⊥平面ABC，
因为AE⊥平面ABC，所以AE∥DM，
又因为AE?平面BCD，DM?平面BCD，
所以AE∥平面BCD．（4分）
（2）由（1）知AE∥DM，又AE=1，CM=1，
所以四边形DMAE是平行四边形，则有DE∥AM，
由（1）得DM⊥AM，又AM⊥BC，
所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD，
又CD?平面BCD，所以DE⊥CD，
由已知BD⊥CD，DE∩BD=D，
所以CD⊥平面BDE，
因为CD?平面CDE，
所以平面BDE⊥平面CDE．

点评 本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，是空间线面关系的基本应用．