Question

16．若a，b，c∈R⁺，求证：2[（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$]≤3[$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$]．

Answer 1

分析 把原不等式进行等价转化，原不等式等价于证明 $\frac{c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}{3}$≥$\root{3}{abc}$，由基本不等式证明即可．

解答 证明：不等式2[（$\frac{a+b}{2}$-$\sqrt{ab}$]≤3[$\frac{a+b+c}{3}$-$\root{3}{abc}$]等价于
a+b-2$\sqrt{ab}$≤a+b+c-3$\root{3}{abc}$，
等价于3$\root{3}{abc}$≤c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$，
等价于c+$\sqrt{ab}$+$\sqrt{ab}$≥3$\root{3}{abc}$①
等价于$\frac{c+\sqrt{ab}+\sqrt{ab}}{3}$≥$\root{3}{abc}$，
∵x，y，z∈R⁺，
由基本不等式 $\frac{x+y+z}{3}$≥$\root{3}{xyz}$知，①成立．
∴原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，主要考查基本不等式的应用，体现转化的数学思想方法．