Question

6．在极坐标系中，已知圆C的圆心在点C（2，0）且经过极点O，点P（6，0）．
（1）写出圆C的极坐标方程，过极点O作两条射线交圆C于A、B两点，A、B的极角分别为$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，求|OA|+|OB|的值；
（2）设直角坐标系中x轴的正半轴与极轴重合，过点P作倾斜角为α（α为锐角）的直线l交圆C于M、N两点，若|PM|+|PN|=7，求cosα的值及M、N的直角坐标．

Answer 1

分析 （1）由圆C的圆心在点C（2，0）且经过极点O，设Q（ρ，θ）为此圆上的任意一点，利用直角三角形的边角关系可得：极坐标方程为：ρ=4cosθ．由A、B的极角分别为$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，代入即可得出|OA|，|OB|．
（2）由圆的极坐标方程为：ρ=4cosθ．化为直角坐标方程：x²+y²=4x，设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），代入圆的方程可得：t²+8tcosα+12=0，把根与系数的关系代入：|PM|+|PN|=|t₁+t₂|=7，解得cosα．可得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$．代入可得t²+7t+12=0，即可得出M，N的坐标．

解答 解：（1）∵圆C的圆心在点C（2，0）且经过极点O，
∴设Q（ρ，θ）为此圆上的任意一点，
∴极坐标方程为：ρ=4cosθ．
∵A、B的极角分别为$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$，
∴|OA|=$4cos\frac{π}{3}$=2，|OB|=4$cos\frac{π}{4}$=2$\sqrt{2}$．
∴|OA|+|OB|=2+2$\sqrt{2}$；
（2）由圆的极坐标方程为：ρ=4cosθ．
化为ρ²=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x，
设直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=6+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆的方程可得：t²+8tcosα+12=0，（*）
∴t₁+t₂=-8cosα，
∵|PM|+|PN|=7，
∴|PM|+|PN|=|t₁+t₂|=8cosα=7，
解得cosα=$\frac{7}{8}$．
∵α为锐角，∴sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{15}}{8}$．
代入（*）可得t²+7t+12=0，
解得t₁=-3，t₂=-4．
∴M$（6-3×\frac{7}{8}，-3×\frac{\sqrt{15}}{8}）$，N$（6-4×\frac{7}{8}，-4×\frac{\sqrt{15}}{8}）$，
化为M$（\frac{27}{8}，-\frac{3\sqrt{′15}}{8}）$，N$（\frac{5}{2}，-\frac{\sqrt{15}}{2}）$．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．