Question

17．已知圆M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）的圆心F是抛物线E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$的焦点，过F的直线交抛物线于A、B两点，求|AF|•|FB|的取值范围．

Answer 1

分析 圆M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为（x-1）²+y²=1，可得圆心F．抛物线E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$化为y²=2px，可得$\frac{p}{2}$=1，解得p，抛物线方程为：y²=4x．当AB⊥x轴时，x_A=x_B=1，利用焦点弦长公式可得|AF|=x_A+$\frac{p}{2}$，|BF|=x_B+$\frac{p}{2}$，可得|AF|•|FB|．当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），代入抛物线方程可得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0，利用根与系数的关系可得|AF|•|FB|=（x_A+1）（x_B+1）=x_A+x_B+x_Ax_B+1，即可得出．

解答 解：圆M：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）化为（x-1）²+y²=1，可得圆心F（1，0）．
抛物线E：$\left\{\begin{array}{l}{x=2p{t}^{2}}\\{y=2pt}\end{array}\right.$化为y²=2px，∵焦点为F（1，0），∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2，
∴抛物线方程为：y²=4x．
当AB⊥x轴时，x_A=x_B=1，
∴|AF|=x_A+$\frac{p}{2}$=2，|BF|=x_B+$\frac{p}{2}$=2，
∴|AF|•|FB|=4．
当AB与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=k（x-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x_A+x_B=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$，x_Ax_B=1．
∴|AF|•|FB|=（x_A+1）（x_B+1）=x_A+x_B+x_Ax_B+1=$2+\frac{4}{{k}^{2}}$+1+1＞4．
∴|AF|•|FB|的取值范围是（4，+∞）．

点评 本题考查了把参数方程化为普通方程、抛物线与圆的标准方程及其性质、抛物线焦点弦长公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．