Question

7．已知正数等比数列{a_n}，a₁=1，a₃=2，则a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n的值为（　　）

• A． $\sqrt{2}$（2ⁿ-1）
• B． 2（2ⁿ-1）
• C． $\frac{\sqrt{2}（{4}^{n}-1）}{3}$
• D． $\frac{2（{4}^{n}-1）}{3}$

Answer 1

分析 通过a₁=1，a₃=2，得公比q，从而可得a_2n-1a_2n=$\frac{\sqrt{2}}{4}×{4}^{n}$，即数列{a_2n-1a_2n}是以$\sqrt{2}$为首项，4为公比的等比数列，计算即可．

解答 解：∵数列{a_n}为等比数列，a₁=1，a₃=2，
∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{3}$=2，
又∵数列{a_n}为正数等比数列，
∴${a}_{2}=\sqrt{2}$，
∴公比q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$，
∴a_2n-1=${a}_{1}{q}^{2n-1-1}$=2^n-1，a_2n=${a}_{1}{q}^{2n-1}$=${2}^{n-\frac{1}{2}}$，
∴a_2n-1a_2n=${2}^{n-1}×{2}^{n-\frac{1}{2}}$=${2}^{2n-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}×{4}^{n}$，
∴a₁a₂+a₃a₄+a₅a₆+…+a_2n-1a_2n=$\frac{\sqrt{2}}{4}$×$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}（{4}^{n}-1）$，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的公比，通项公式，前n项和公式，注意解题方法的积累，属于中档题．