Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示．
（1）求函数f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{3}$，求cos（$\frac{2π}{3}$-α）的值；
（2）若在x∈[0，a]（a＞0）上函数存在2个最大值，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象求出A，ω和φ的值即可求出函数的解析式，利用三角函数的关系进行转化求解即可．
（2）根据函数的图象和性质，即可得到结论．

解答 解：（1）由图象知A=2，$\frac{T}{4}=\frac{5}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$，
即函数的周期T=2，
∵T=$\frac{2π}{ω}$=2，∴ω=π，即f（x）=2sin（πx+φ），
由五点对应法知$\frac{1}{3}π+φ=\frac{π}{2}$，即φ=$\frac{π}{6}$，
即f（x）=2sin（πx+$\frac{π}{6}$），
若f（$\frac{α}{2π}$）=$\frac{1}{3}$，即2sin（π×$\frac{α}{2π}$+$\frac{π}{6}$）=2sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{3}$，
即sin（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{6}$，
则cos（$\frac{2π}{3}$-α）=2cos²（$\frac{π}{3}$-$\frac{α}{2}$）-1=2sin²[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-$\frac{α}{2}$）]-1=2sin²（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{6}$）-1=2×$（\frac{1}{6}）^{2}-1=-\frac{17}{18}$．
（2）当x≥0时，
∵f（$\frac{1}{3}$）=2为最大值，函数的周期T=2，
∴f（$\frac{1}{3}+2$）=f（$\frac{7}{3}$）=2为第二个最大值，
f（$\frac{1}{3}$+4）=f（$\frac{13}{3}$）=2为第三个最大值，
若在x∈[0，a]（a＞0）上函数存在2个最大值，
则$\frac{7}{3}$≤a＜$\frac{13}{3}$．

点评 本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数值的化简和求解，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．