Question

20．求函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域．

Answer 1

分析 利用换元法，设u=$\sqrt{x}$，v=$\sqrt{3-3x}$，u、v≥0，得出3u²+v²=3；
再设u=cosθ，v=$\sqrt{3}$sinθ，0≤θ≤$\frac{π}{2}$，求函数y=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ在θ∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域即可．

解答 解：设u=$\sqrt{x}$，v=$\sqrt{3-3x}$，且u、v≥0，
∴3u²+v²=3；
令u=cosθ，v=$\sqrt{3}$sinθ，且0≤θ≤$\frac{π}{2}$，
∴y=cosθ+$\sqrt{3}$sinθ=2sin（θ+$\frac{π}{6}$）；
又∵$\frac{π}{6}$≤θ+$\frac{π}{6}$≤$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$≤sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴1≤2sin（θ+$\frac{π}{6}$）≤2，
即1≤y≤2；
∴函数y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{3-3x}$的值域是[1，2]．

点评 本题考查了求函数值域的应用问题，解题时应利用换元法，把问题转化为求三角函数在闭区间上的最值问题，是综合性题目．