Question

4．已知函数f（x）=ln（2ax+a²-1）-ln（x²+1），其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）是否存在a的值，使得f（x）在[0，+∞）上既存在最大值又存在最小值？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先求出函数f（x）的导数，令导函数为0，得到方程（ax-1）（x+a）=0，通过讨论a的范围，解出方程的根，从而求出函数的单调区间；
（2）根据x=-a，x=$\frac{1}{a}$，二者不可能同时为正，满足此要求的a不存在，从而得到答案．

解答 解：（1）∵f′（x）=$\frac{2a}{2ax{+a}^{2}-1}$-$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
令f′（x）=0，得：ax²+（a²-1）x-a=0，
即（ax-1）（x+a）=0，…①
a=0时，2ax+a²-1=-1＜0，不合题意，∴a≠0，
解①得：x=-a，x=$\frac{1}{a}$，
当a＞0时，f（x）在（-∞，-a），（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，在（-a，$\frac{1}{a}$）递增，
当a＜0时，f（x）在（-∞，$\frac{1}{a}$），（-a，+∞）递减，在（$\frac{1}{a}$，-a）递增；
（2）由（1）得：
a＞0时，函数在[0，$\frac{1}{a}$）递减，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递增，函数有最小值没有最大值，不合题意；
a＜0时，函数在[0，-a）递增，在（-a，+∞）递减，函数有最大值没有最小值，不合题意，
故满足此要求的a不存在．

点评 本题考查了函数的单调性，考查了导数的应用，是一道中档题．