Question

14．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）斜率为k的真线l经过椭圆C的右焦点F且与椭圆交于不同的两点A，B设$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$λ∈（-2，-1），求直线l斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过离心率为e，及a²-b²=c²，可知b=c，再利用过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$，可得b=1，$a=\sqrt{2}$，从而可得椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，可得y₁=λy₂，通过化简，解不等式$-\frac{1}{2}＜\frac{-4}{1+2{k}^{2}}＜0$即可．

解答 解：（Ⅰ）∵离心率为e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$a=\sqrt{2}c$，
又∵a²-b²=c²，∴b=c，
∵过焦点且垂直于长轴的弦长为$\sqrt{2}$，
∴$\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{2{b}^{2}}{\sqrt{2}b}=\sqrt{2}b=\sqrt{2}$，
∴b=1，$a=\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（Ⅱ）根据题意，设直线l的方程为：y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立直线与椭圆方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）}\end{array}\right.$，消去x，得（1+2k²）y²+2ky-k²=0，
根据韦达定理，得y₁+y₂=$-\frac{2k}{1+2{k}^{2}}$，y₁+y₂=$-\frac{{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{FA}=λ\overrightarrow{FB}$，∴y₁=λy₂，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}=λ+\frac{1}{λ}+2=\frac{-4}{1+2{k}^{2}}$，
∵$λ+\frac{1}{λ}+2$在（-2，-1）上位增函数，∴$λ+\frac{1}{λ}+2$$∈（-\frac{1}{2}，0）$，
解不等式$-\frac{1}{2}＜\frac{-4}{1+2{k}^{2}}＜0$，得$k＞\frac{\sqrt{14}}{2}$或$k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$，
∴所求直线l斜率k的取值范围为：$k＞\frac{\sqrt{14}}{2}$或$k＜-\frac{\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量共线，函数的单调性，解不等式，注意解题方法的积累，属于中档题．