Question

5．如图，棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中
（1）求证：AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）求三棱锥B-ACB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）利用线面垂直的判定定理，即可证明AC⊥平面B₁D₁DB；
（2）利用等体积转化，即可求三棱锥B-ACB₁的体积．

解答 （1）证明：∵BB₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB₁⊥AC         （3分）
在正方形ABCD中，AC⊥BD，（5分）
∵BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面B₁D₁DB；                                 （7分）
（2）解：三棱锥B-ACB₁的体积=三棱锥C-ABB₁的体积=$\frac{1}{3}$×CB×${S}_{△AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{6}$（14分）

点评 本题考查线面垂直的判定定理，考查等体积转化求三棱锥B-ACB₁的体积，属于中档题．