Question

17．用长为18m的钢条围成一个长方体的框架，已知长方体的长与宽之比为2：1．
（1）记长方体的宽为xm，请写出长方体的高h关于x的表达式；
（2）当该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？

Answer 1

分析 （1）由长方体的宽和长，求出高；
（2）求出它的体积以及定义域，利用导数，求出体积函数y的最大值以及此时对应的宽是多少．

解答 解：（1）∵长方体的宽为x，长为2x，
∴高h=$\frac{1}{4}$（18-4x-4×2x）=$\frac{1}{2}$（9-6x）（0＜x＜$\frac{3}{2}$）；
（2）长方体的体积为y=2x•x•$\frac{1}{2}$（9-6x）=-6x³+9x²，定义域是（0，$\frac{3}{2}$）；
∵y=-6x³+9x²，（其中0＜x＜$\frac{3}{2}$），
求导数，得y′=-18x²+18x，
令y′=0，解得x=0，或x=1；
∴当0＜x＜1时，y′＞0，函数y是增函数，
当1＜x＜$\frac{3}{2}$时，y′＜0，函数y是减函数；
∴当x=1时，函数y取得最大值，是y_max=-6×1³+9×1²=3．
即长为2，宽为1，高为$\frac{3}{2}$时，长方体的体积最大，最大体积是3．

点评 本题考查了利用导数判定函数的单调性与求最值的问题，解题时应根据题意求出函数的解析式，再利用导数求函数的最值，是中档题．