Question

12．在如图所示的一块形状为四棱柱的木料中，侧面AB-CD⊥底面ABB₁A₁；侧面ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°；底面ABB₁A₁是直角梯形，其中∠A₁AB=90°，AA₁∥BB₁，AA₁=3，BB₁=1；P为面A₁C₁内的点．
（Ⅰ）为了经过点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？请说明理由；
（Ⅱ）若P为A₁C₁的中点，求按照（Ⅰ）的要求将木料锯开后较大木块的体积．

Answer 1

分析 （I）在平面A₁C₁内过点P画MN∥B₁C₁，分别与棱A₁B₁，C₁D₁相交于点M，N，连接BM，CN．利用线面平行的判定定理可得：M，N，P与BC共面．
（II）将木料锯开后较大木块为四棱柱AA₁MB-DD₁NC，若P为A₁C₁的中点，则M为棱A₁B₁的中点．取AB的中点H，连接DH．四边形ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°．利用余弦定理可得DH，可得DH⊥AB．利用面面垂直的判定定理：DH⊥平面ABB₁A₁，利用${V}_{A{A}_{1}MB-D{D}_{1}NC}$=$\frac{1}{3}$${S}_{A{A}_{1}MB}•DH$．

解答 解：（I）在平面A₁C₁内过点P画MN∥B₁C₁，分别与棱A₁B₁，C₁D₁相交于点M，N，连接BM，CN．
∵四棱柱中，B₁C₁∥BC，
∴MN∥BC，
∴M，N，P与BC共面，即所画的线段MN，BM，CN，都与P，BC在同一个平面内．
（II）将木料锯开后较大木块为四棱柱AA₁MB-DD₁NC，
若P为A₁C₁的中点，则M为棱A₁B₁的中点．
${S}_{A{A}_{1}MB}$=${S}_{A{A}_{1}{B}_{1}B}$-${S}_{M{B}_{1}B}$=$\frac{1}{2}×（3+1）×4-\frac{1}{2}×1×2$=7，
取AB的中点H，连接DH．
∵四边形ABCD是边长为4的菱形，且∠DAB=60°．
∴DH=$\sqrt{A{D}^{2}+A{H}^{2}-2AD•AHcos∠DAH}$=$2\sqrt{3}$，
∵AD²=AH²+DH²，
∴DH⊥AB．
∵侧面ABCD⊥底面ABB₁A₁，侧面ABCD∩底面ABB₁A₁=AB，
又DH⊥AB，DH?平面ABCD，
∴DH⊥平面ABB₁A₁，
∴${V}_{A{A}_{1}MB-D{D}_{1}NC}$=$\frac{1}{3}$${S}_{A{A}_{1}MB}•DH$=$\frac{1}{3}×7×2\sqrt{3}$=$\frac{14\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了直三棱柱的性质、线面平行与垂直的判定定理、菱形的性质、四棱柱的体积计算公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．