Question

3．已知（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中第六项的二项式系数最大，求：
（1）展开式中不含x的项；
（2）${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题意易得n=10，可得通项T_k+1=${C}_{10}^{k}$•x^30-5k，令30-5k=0可解得k=6，可得答案；
（2）易得${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$=（1-$\frac{1}{2}$）ⁿ，代入n值计算可得．

解答 解：（1）∵（x³+$\frac{1}{{x}^{2}}$）ⁿ展开式中第六项的二项式系数最大，
∴二项展开式共11项，∴n=10
∴展开式的通项T_k+1=${C}_{10}^{k}（{x}^{3}）^{10-k}（\frac{1}{{x}^{2}}）^{k}$=${C}_{10}^{k}$•x^30-5k，
令30-5k=0可解得k=6，
∴展开式中不含x的项为T₇=${C}_{10}^{6}$=${C}_{10}^{4}$=210；
（2）${C}_{n}^{0}$-$\frac{1}{2}$${C}_{n}^{1}$+$\frac{1}{4}$${C}_{n}^{2}$-$\frac{1}{8}$${C}_{n}^{3}$+…+（-1）ⁿ•${C}_{n}^{n}$
=（1-$\frac{1}{2}$）ⁿ=（1-$\frac{1}{2}$）¹⁰=$\frac{1}{1024}$

点评 本题考查二项式定理，涉及二项式系数的性质，属基础题．