Question

13．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析 运用向量的数量积的坐标表示和二倍角的正弦、余弦公式，结合正弦函数的最值，即可得到所求最大值．

解答 解：向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，sinx），
函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1-cos2x}{2}$=$\frac{1}{2}$+sin（2x-$\frac{π}{6}$），
当2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，即x=kπ+$\frac{π}{3}$（k∈Z）时，
sin（2x-$\frac{π}{6}$）取得最大值1．
则f（x）取得最大值，且为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，同时考查二倍角公式和两角差的正弦公式的运用，运用正弦函数的最值是解题的关键．