Question

9．已知函数f（x）=x²+（x-1）|x-a|，若函数f（x）在[2，3]最小值为6，求a的值．

Answer 1

分析 根据a的取值范围，结合分段函数的单调性进行确定函数的最小值即可得到结论．

解答 解：f（x）=x²+（x-1）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}-（a+1）x+a，}&{x≥a}\\{（a+1）x-a，}&{x＜a}\end{array}\right.$，
∵2≤x≤3，
∴当a＜2时，f（x）=x²+（x-1）|x-a|=2x²-（a+1）x+a，此时对称轴为x=$\frac{a+1}{4}$＜2，
∴函数f（x）在[2，3]最小值为f（2）=6-a=6，解得a=0，
当2＜a＜3时，当x＞a时，对称轴为x=$\frac{a+1}{4}$＜2，函数f（x）在[2，3]最小值为f（2）=6-a=6，
解得a=0此时不成立，
当x＜a时，f（x）=（a+1）x-a，此时函数f（x）在[2，3]最小值为f（2）=2a+2-a=a+2=6，
解得a=4不成立
当a＞3时，f（x）=（a+1）x-a，此时函数f（x）在[2，3]最小值为f（2）=2a+2-a=a+2=6，
解得a=4成立，
综上a=0或a=4．

点评 本题主要考查函数最值的应用，以及分段函数的求解，综合性较强，难度较大，注意要对a进行分类讨论．