Question

7．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，过曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））的切线方程为y=3x+1，y=f（x）在x=-2时有极值．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求f（x）在[-3，1]上的单调区间和最大值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f（x）在x=-2时有极值即可列出关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，从而得到f （x）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x），通过f′（x）＞0，及f′（x）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可．

解答 解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c求导数得f′（x）=3x²+2ax+b
过y=f（x）上点P（1，f（1））的切线方程为：y-f（1）=f′（1）（x-1）即y-（a+b+c+1）=（3+2a+b）（x-1）
故$\left\{\begin{array}{l}3+2a+b=3\\ a+b+c-2=1\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}2a+b=0…①\\ a+b+c=3…②\end{array}\right.$
∵有y=f（x）在x=-2时有极值，故f′（-2）=0
∴-4a+b=-12…③
由①②③相联立解得a=2，b=-4，c=5
f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）f′（x）=3x²+2ax+b=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）

x	-3	（-3，-2）	-2	$（-2，\frac{2}{3}）$	$\frac{2}{3}$	$（\frac{2}{3}，1）$	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	8	增函数	极大值13	减函数	极小值	增函数	4

f（x）_极大=f（-2）=（-2）³+2（-2）²-4（-2）+5=13f（1）=1³+2×1-4×1+5=4
∴f（x）在[-3，1]上最大值为13．
函数的单调增区间（-3，-2），$（\frac{2}{3}，1）$；单调减区间为：$（-2，\frac{2}{3}）$．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题．