Question

12．体积为V的正方体，过不相邻四顶点连成一个正四面体，则该正四面体的体积是（　　）

• A． $\frac{V}{2}$
• B． $\frac{V}{3}$
• C． $\frac{V}{4}$
• D． $\frac{V}{5}$

Answer 1

分析 如图所示，设正方体的棱长为a，则${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{正方体ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$-$4{V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$，即可得出．

解答 解：如图所示，设正方体的棱长为a，
则${V}_{{A}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{正方体ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}}$-$4{V}_{三棱锥{A}_{1}-ABD}$
=${a}^{3}-4×\frac{1}{3}a×\frac{1}{2}{a}^{2}$
=$\frac{1}{3}{a}^{3}$
=$\frac{V}{3}$．

点评 本题考查了正方体与三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．